Anuitas di Muka, Ditunda, dan Bertumbuh

Valuasi tidak dapat dipisahkan dari perpetuitas dan kita mengenal berbagai perpetuitas yaitu biasa, di muka, ditunda, dan bertumbuh.

Perpetuitas biasa dan bertumbuh kerap digunakan untuk valuasi saham, properti, usaha, dan uang pensiun yang dibayarkan bulanan. Persamaan matematika untuk perpetuitas biasa dan perpetuitas bertumbuh bersama dengan persamaan dasar menjadi tiga persamaan utama dalam matematika keuangan yang perlu dikuasai mahasiswa bisnis dan akuntansi.

Sejatinya hanya persamaan dasar yang perlu dihafal mahasiswa karena persamaan perpetuitas biasa dan perpetuitas bertumbuh dapat diturunkan dari persamaan dasar ini dengan manipulasi matematika sederhana. Namun, karena saya sulit menuliskannya di sini dan kebetulan kedua persamaan itu juga sangat mudah yaitu PV = A/i dan PV = A / (i-g), tidak ada salahnya juga jika mahasiswa langsung berusaha mengingatnya dan tidak perlu mengerti bagaimana persamaan-persamaan itu diturunkan. Bagaimana dengan macam-macam anuitas dan persamaannya?

Penurunan Persamaan Anuitas

Sama dengan perpetuitas, anuitas pun ada yang biasa, di muka, ditunda, dan bertumbuh. Anuitas berbeda dengan perpetuitas hanya dalam hal periodenya yang terbatas yaitu selama n periode saja. Namun, berbeda dengan perpetuitas, untuk anuitas kita tidak hanya ingin mengetahui nilai sekarang atau present value (PV), tetapi juga nilai akan datang (future value - FV ).

Oleh karena itu, persamaan anuitas menjadi lebih banyak daripada persamaan perpetuitas yaitu PV dan FV untuk anuitas biasa, anuitas di muka, dan anuitas bertumbuh ditambah PV untuk anuitas ditunda. Saya akan mulai dari persamaan untuk PV anuitas biasa. Anuitas biasa tidak lain adalah selisih perpetuitas biasa dan perpetuitas ditunda yang dimulai pada periode n+1.

Jika rangkaian arus kas sebesar A yang terus menerus mulai satu periode lagi dikurangi rangkaian arus kas sebesar A yang dimulai periode n+1, maka kita akan mendapatkan rangkaian arus kas sebesar A yang dimulai satu periode lagi hingga periode n. Untuk mendapatkan persamaan anuitas biasa, kita cukup mengurangi persamaan PV dari perpetuitas biasa dengan persamaan PV dari perpetuitas ditunda.

Contoh soalnya adalah sebuah produk investasi A menawarkan arus kas sebesar Rp10 juta per tahun seumur hidup mulai tahun depan sementara produk investasi B menawarkan yang sama tetapi dimulai dari tahun ke-5. Jika imbal hasil yang diharapkan diasumsikan tetap sebesar 6% per tahun, berapakah nilai sekarang dari produk A dan B di atas? Produk A bernilai Rp166.666.667 sementara produk B juga bernilai sebesar ini juga tetapi di tahun ke-4. Nilai sekarang produk B adalah Rp166.666.667 / (1+6%)^4 = Rp132.015.611.

Misalkan kemudian ada produk C yang memberikan kas Rp10 juta yang dimulai dari tahun ke- 1 sampai dengan tahun ke-4. Pada tingkat diskonto yang sama, nilai sekarang dari produk C ini adalah selisih kedua perpetuitas di atas yaitu Rp34.651.056.

PV Anuitas di Muka

Variasi lain dari anuitas adalah anuitas di muka. Perbedaan anuitas di muka dari anuitas biasa adalah dalam hal angsuran terakhir dalam anuitas biasa diganti dengan angsuran pada hari ini atau saat transaksi dalam anuitas di muka. Karenanya, persamaannya hanya berbeda dalam jumlah periode dalam anuitas biasa dikurangi 1 dan kemudian hasilnya ditambah A yaitu angsuran pertama yang dibayarkan hari ini. Ilustrasinya, Kayla bermaksud mengambil KPR dengan cicilan sebesar Rp5 juta per bulan selama 10 tahun yang dimulai pada saat tanda tangan perjanjian.

Jika suku bunga diasumsikan tetap 12% per tahun, berapakah plafon pinjaman yang dapat diperoleh Kayla? Dengan menggunakan persamaan PV untuk anuitas biasa dengan periode (120-1) atau 119, bunga 1%, dan A sebesar Rp5 juta dan hasilnya kemudian ditambah Rp5 juta lagi, kita akan mendapatkan Rp351.987.636. Oleh karena itu, persamaan PV untuk anuitas di muka adalah sama seperti persamaan PV untuk anuitas biasa dengan modifikasi jumlah periode dikurangi satu dan kemudian ditambah dengan A.

PV Anuitas Bertumbuh

Sama seperti persamaan untuk anuitas biasa, persamaan untuk anuitas bertumbuh adalah juga selisih dari dua persamaan perpetuitas yaitu perpetuitas bertumbuh biasa dan perpetuitas bertumbuh ditunda.

Berapakah nilai sekarang dari arus kas Rp20 juta pada tahun ke-1 yang meningkat 5% per tahun sampai dengan tahun ke-4, jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7%? Nilai sekarang dari investasi di atas adalah selisih dari arus kas terus menerus mulai Rp20 juta tahun depan yang bertumbuh 5% per tahun (perpetuitas bertumbuh biasa) dengan arus kas terus menerus mulai dari Rp20 juta (1+5%)^4 atau Rp24.310.125 mulai tahun ke5 yang bertumbuh 5% per tahun (perpetuitas bertumbuh ditunda).

Nilai sekarang menjadi selisih dari Rp1 miliar (perpetuitas bertumbuh biasa) dan Rp927.303.898 (Rp1.215.506.250 / (1,07)^4) dari perpetuitas bertumbuh ditunda yaitu Rp72.696.102. Jika kita sudah memperoleh PV dari anuitas biasa, di muka, dan ditunda, dengan menggunakan persamaan dasar kita akan dapat menurunkan persamaan FV untuk ketiga anuitas di atas.

PV Anuitas Ditunda

Dengan logika matematika, kita juga dapat menurunkan persamaan matematika untuk PV anuitas ditunda. Misalkan ada produk D yang menjanjikan arus kas Rp10 juta selama 4 kali dan dimulai pada tahun ke-5, berapakah nilainya pada tingkat diskonto 6%? Nilai produk D ini pada tahun ke-4 adalah Rp34.651.056. Karena itu, nilai sekarangnya adalah Rp34.651.056 / (1+6%)^4 = Rp27.446.882.

Dengan kata lain, persamaan PV untuk anuitas ditunda adalah gabungan dua persamaan sekaligus yaitu persamaan PV anuitas biasa dan persamaan dasar. Kita mesti mendiskontokan lagi PV dari anuitas biasa yang didapat dengan menggunakan persamaan dasar.

Budi Frensidy
Staf Pengajar FEUI dan Perencana Keuangan, www.fund-and-fun.com @BudiFrensidy